http://markets.nikkei.co.jp/kokunai/summary.aspx?site=MARKET&genre=m1&id=ASS0ISS16%2004072008
http://charge.biz.yahoo.co.jp/vip/news/jij/080704/080704_mbiz016.html
http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20080704-00000025-yom-bus_all
日経平均が１２日間連続して下落したというニュースです。
７日は１３営業日にして日経平均が上昇したとのことで、１２日間で記録が確定しました。
株価がランダムに上下するものだとすると、上がるか下がるかは 1/2 の確率で起こります。２日連続で下がることは 1/4 の確率で起こります。１２日連続して下がる確率は、1/(2**12) ですから、1/4096 です。
1/4096 の確率で起こることは、何年くらい経てば観測できるものなのでしょうか。
第１の考え方です。
１年間で株の取引可能日はざっと 250 日ほどあります。１６年間で 4000 日ですから、１２日続落は１６年に１回起こると考えます。
第１の考え方は、ちょっと変です。
１日目から１２日目までで１回の事象と考えましょう。すると、次の事象を２日目から１３日目までと数えていいのでしょうか。いいとすれば、次の次の事象は３日目から１４日目ということになります。しかし、これでは、事象間の「重なり」があることになります。相互に独立していない事象で単純に確率を考えていいのでしょうか。
第２の考え方です。
１２日連続した観測を相互に独立した事象と考えるためには、事象間の重なりをなくさなければなりません。すると、１日目から１２日目までを１回の事象とする場合、２回目の事象は１３日目から２４日目までと考えることになります。この計算では、つまり、1/4096 の確率で起こることは、49152日に１回起こることになり、ざっと 200 年間に１回起こるという計算になります。
しかし、第２の考え方も変です。１２日続落という現象は、取引可能日を１２日ずつに区切って計測したわけではなく、任意の日から計測を始めて１２日連続で下落が起こったということですから、200 年間に１回という計算は確率を低く見積もりすぎです。
乙は、このような時系列的に起こる連続事象の確率をどう計算したらいいかわかりません。第１の考え方でいいのでしょうか。
日経新聞７月５日３面によれば、日経平均株価の歴代続落記録は、以下の通りです。
15日 1954年4月28日〜5月18日
13日 1949年11月14日〜11月29日（株価変わらずの日を含む）
12日 2008年6月19日〜7月4日
12日 1953年5月21日〜6月3日
過去60年ほどの間に４回起こっているということはざっと１５年に１回起こっている計算になり、上に述べたシンプルな第１の考え方の推定に近いということになります。まあ、サンプル数が少ないので、あまり意味はないでしょうが。
「12日間」を取り出すと考え方が難しくなるので、任意の日を1日取り出します。
その日から過去12日間を取り出す、と考えてみます。
どの日を取り出しても、過去12日値間が全敗である確率は1/4096です。
よって、12連敗以上する確率は1/4096となります。
ただし、上記には13連敗以上の確率が含まれています。
あくまでも12連敗に限定する場合、
1/4096-{(1/8128)+(1/16256)...}
となります。
{(1/8128)+(1/16256)...}
の部分は1/8128に近似しますので、
1/4096-1/8128
=1/8128
よって、12連敗する確率は、約1/8128となります。
実際の歴史に照らし合わせてみると、
25日×60年=15000日なので、
12連敗(1/8128)が2回、13連敗(1/16256)が1回あったというのは、およそぴったりですね。
ただ、説明が付きづらいのは15連敗で、発生確率が130年に1回であることを考えると、マーケットの非ランダム性を感じますね。
お教え、ありがとうございます。
なるほど、この考え方でいいようです。
１３連敗以上の確率の件ですが、ある日から過去１２日間を取り出して、それが 1/4096 で起こる場合、もう１日過去にさかのぼると、その日も勝敗が 1/2 であると考えられますから、１２連敗で、１３連敗以上ではない確率は、1/8192 となるように思います。
1/4096-{(1/16256)+(1/32512)...}
=1/4096-1/8128
=1/8128
とすべきでした。
もしくは、乙川さんのように、
12連敗する確率 x 13連敗しない確率
として、
1/4096 x 1/2 = 1/8128
とするのが分かり易いですね。
興味深い投稿は、多くの方の役に立っていると思います。